是的。根据《民法典》第三百一十二条，如果受让人是通过拍卖或向具有经营资格的经营者购得遗失物，权利人在请求返还时需要支付相应费用。但本题中张某是私下转让给关某，不属于上述情形，因此关某无权要求刘某支付购买价款。同时，刘某在知道受让人之日起2年内（2022年5月11日至2024年5月11日）主张返还，未超过诉讼时效，关某必须返还且不能索要费用。